Десятиугольник

Правильный десятиугольник
Сторон и вершин	10
Символ Шлефли	{10}
Внутренний угол	144°
Симметрия	Диэдрическая ([math]\displaystyle{ D_{10} }[/math]), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

[math]\displaystyle{ A = \frac{5}{2}t^2 \ ctg \frac{\pi}{10} = \frac{5t^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx 7.694208842938134 t^2. }[/math]

Альтернативная формула [math]\displaystyle{ A=2.5dt }[/math], где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

[math]\displaystyle{ d=2t\left(\cos\tfrac{3\pi}{10}+\cos\tfrac{\pi}{10}\right), }[/math]

и может быть представлен в радикалах как

[math]\displaystyle{ d=t\sqrt{5+2\sqrt{5}}. }[/math]

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна [math]\displaystyle{ \tfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\tfrac{1}{\varphi} }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] - золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

[math]\displaystyle{ R=\frac{\sqrt{5}+1}{2}t, }[/math]

а радиус вписанной окружности

[math]\displaystyle{ r=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}t. }[/math]

Построение

Построение правильного десятиугольника.

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:

1. Построить сначала правильный пятиугольник.
2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольник (в общем случае - [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольный зоногон) можно разбить на [math]\displaystyle{ \frac{m(m-1)}{2} }[/math] ромбов. Для декагона [math]\displaystyle{ m=5 }[/math], так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пятиугольная антипризма	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2⁺,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A9	D6		B5
9-симплекс	411	131	5-ортоплекс	5-куб

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Decagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.